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2015年高三数学理科期中考试模拟试卷

时间:2015-10-22 22:19来源:未知 作者:暗夜 点击:
本文精心为教师们整理了关于2015年高三数学理科期中考试模拟试卷,希望通过文的阅读,能使大家在以后的教学中起到更重的作用。

本文精心为教师们整理了关于2015年高三数学理科期中考试模拟试卷,希望通过文的阅读,能使大家在以后的教学中起到更重的作用。

2015年高三数学理科期中考试模拟试卷

(考试时间120分钟 满分150分)

本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

(1)复数 在复平面内对应的点位于

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(2)已知集合 ,集合 ,则

(A) (B) (C) (D)

(3)已知平面向量 , 满足 , ,则 与 的夹角为

(A) (B) (C) (D)

(4)如图,设区域 ,向区域 内

随机投一点,且投入到区域内任一点都是等可能的,则点落

入到阴影区域 的概率为

(A) (B)

(C) (D)

(5)在 中, , ,则“ ”

是“ ”的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

(6)执行如图所示的程序框图,输出的S值为

(A) (B)

(C) (D)

(7)已知函数 .下列命题:

①函数 的图象关于原点对称; ②函数 是周期函数;

③当 时,函数 取最大值;④函数 的图象与函数 的图象没有公共点,其中正确命题的序号是

(A) ①③ (B)②③ (C) ①④ (D)②④

(8)直线 与圆 交于不同的两点 , ,且 ,其中 是坐标原点,则实数 的取值范围是

(A) (B)

(C) (D)

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.

(9)在各项均为正数的等比数列 中, , ,则该数列的前4项和

为 .

(10)在极坐标系中, 为曲线 上的点, 为曲线 上的点,则线段

长度的最小值是 .

(11)某三棱锥的三视图如图所示,则这个三棱锥的体积

为 ;表面积为 .

(12)双曲线 的一个焦点到其渐近线的距离是 ,则 ;

此双曲线的离心率为 .

(13)有标号分别为1,2,3的红色卡片3张,标号分别为1,2,3的

蓝色卡片3张,现将全部的6张卡片放在2行3列的格内

(如图).若颜色相同的卡片在同一行,则不同的放法种数

为 .(用数字作答)

(14)如图,在四棱锥 中, 底面 .底面 为梯形, , ∥ , , .若点 是线段 上的动点,则满足 的点 的个数是 .

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

(15)(本小题满分13分)

已知函数 , .

(Ⅰ)求 的值及函数 的最小正周期;

(Ⅱ)求函数 在 上的单调减区间.

(16)(本小题满分13分)

某单位从一所学校招收某类特殊人才.对 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:

一般 良好 优秀

一般

良好

优秀

例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有 人.由于部分数据丢失,只知道从这 位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 .

(I)求 , 的值;

(II)从参加测试的 位学生中任意抽取 位,求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思

维能力优秀的学生的概率;

(III)从参加测试的 位学生中任意抽取 位,设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学

生人数为 ,求随机变量 的分布列及其数学期望 .

(17)(本小题满分14分)

如图,四棱锥 的底面为正方形,侧面 底面 . 为等腰直角三角形,且 . , 分别为底边 和侧棱 的中点.

(Ⅰ)求证: ∥平面 ;

(Ⅱ)求证: 平面 ;

(Ⅲ)求二面角 的余弦值.

(18)(本小题满分13分)

已知函数 , .

(Ⅰ)求函数 的单调区间;

(Ⅱ)若函数 在区间 的最小值为 ,求 的值.

(19)(本小题满分14分)

已知椭圆 经过点 ,离心率为 .(Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)直线 与椭圆 交于 两点,点 是椭圆 的右顶点.直线 与直线 分别与 轴交于点 ,试问以线段 为直径的圆是否过 轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.

(20)(本小题满分13分)

从 中这 个数中取 ( , )个数组成递增等差数列,所有可能的递增等差数列的个数记为 .

(Ⅰ)当 时,写出所有可能的递增等差数列及 的值;

(Ⅱ)求 ;

(Ⅲ)求证: .

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学答案(理工类) 2014.3

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 B A B A B D C D

二、填空题

题号 9 10 11 12 13 14

答案

2

2

三、解答题

15. (本小题满分13分)

解:

(Ⅰ) .

显然,函数 的最小正周期为 . …………… 8分

(Ⅱ)令 得

, .

又因为 ,所以 .

函数 在 上的单调减区间为 . …………… 13分

16. (本小题满分13分)

解:(I)设事件 :从 位学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生.

由题意可知,运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有 人.

则 .

解得 .

所以 . …………… 4分

(II)设事件 :从 人中任意抽取 人,至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生.

由题意可知,至少有一项能力测试优秀的学生共有 人.

则 . …………… 7分

(III) 的可能取值为 , , .

位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 人.

所以 ,

.

所以 的分布列为

0 1 2

所以, . …………… 13分

17. (本小题满分14分)

(Ⅰ)证明:取 的中点 ,连接 , .

因为 , 分别是 , 的中点,

所以 是△ 的中位线.

所以 ∥ ,且 .

又因为 是 的中点,且底面 为正方形,

所以 ,且 ∥ .

所以 ∥ ,且 .

所以四边形 是平行四边形.

所以 ∥ .

又 平面 , 平面 ,

所以 平面 . ……………4分

(Ⅱ)证明: 因为平面 平面 ,

,且平面 平面 ,

所以 平面 .

所以 , .

又因为 为正方形,所以 ,

所以 两两垂直.

以点 为原点,分别以 为 轴,

建立空间直角坐标系(如图).

由题意易知 ,

设 ,则

, , , , , , .

因为 , , ,

且 ,

所以 , .

又因为 , 相交于 ,所以 平面 . …………… 9分

(Ⅲ)易得 , .

设平面 的法向量为 ,则

所以 即

令 ,则 .

由(Ⅱ)可知平面 的法向量是 ,

所以 .

由图可知,二面角 的大小为锐角,

所以二面角 的余弦值为 . ……………14分

18. (本小题满分13分)

解:函数 的定义域是 , .

(Ⅰ)(1)当 时, ,故函数 在 上单调递减.

(2)当 时, 恒成立,所以函数 在 上单调递减.

(3)当 时,令 ,又因为 ,解得 .

①当 时, ,所以函数 在 单调递减.

②当 时, ,所以函数 在 单调递增.

综上所述,当 时,函数 的单调减区间是 ,

当 时,函数 的单调减区间是 ,单调增区间为 .…7分

(Ⅱ)(1)当 时,由(Ⅰ)可知, 在 上单调递减,

所以 的最小值为 ,解得 ,舍去.

(2)当 时,由(Ⅰ)可知,

①当 ,即 时,函数 在 上单调递增,

所以函数 的最小值为 ,解得 .

②当 ,即 时,函数 在 上单调递减,

在 上单调递增,所以函数 的最小值为 ,

解得 ,舍去.

③当 ,即 时,函数 在 上单调递减,

所以函数 的最小值为 ,得 ,舍去.

综上所述, . ……………13分

19. (本小题满分14分)

解:(Ⅰ)由题意得 ,解得 , .

所以椭圆 的方程是 . …………… 4分

(Ⅱ)以线段 为直径的圆过 轴上的定点.

由 得 .

设 ,则有 , .

又因为点 是椭圆 的右顶点,所以点 .

由题意可知直线 的方程为 ,故点 .直线 的方程为 ,故点 .

若以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ,则等价于 恒成立.

又因为 , ,

所以 恒成立.

又因为

所以 .

解得 .

故以线段 为直径的圆过 轴上的定点 . …………… 14分

20. (本小题满分13分)

解:(Ⅰ)符合要求的递增等差数列为1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5,共4个.

所以 . …………… 3分

(Ⅱ)设满足条件的一个等差数列首项为 ,公差为 , .

, , 的可能取值为 .

对于给定的 , , 当 分别取 时,可得递增等差数列 个(如: 时, ,当 分别取 时,可得递增等差数列91个: ; ; ; ,其它同理).

所以当 取 时,可得符合要求的等差数列的个数为:

.…………… 8分

(Ⅲ)设等差数列首项为 ,公差为 ,

记 的整数部分是 ,则 ,即 .

的可能取值为 ,

对于给定的 , ,当 分别取 时,可得递增等差数列 个.

所以当 取 时,得符合要求的等差数列的个数

易证 .

又因为 , ,

所以 .

所以

即 . …………… 13分

这就是我们精心为大家准备的2015年高三数学理科期中考试模拟试卷,希望对大家有所帮助!

(责任编辑:爱儿教育网)
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